Du hättest dich mit der Theorie der mathematischen Invarianten befassen sollen, behauptete Professor Archipi gegenüber Sisyphos aus Gonfanon, der seine Ahnentafeln zu ordnen versuchte. Der Tischler des Sisyphos hatte einen Rahmen mit Rillen und Schienen angefertigt, in dem Sisyphos die Tafeln seiner 15 Vorfahren verschieben konnte. Der 16. Platz war frei, damit die Anordnung der Tafeln, die der Tischler aufs Geratewohl gehängt hatte, verändert werden konnte. Auf Sisyphos kam also die Arbeit zu, die Genealogie seiner Vorfahren zu ordnen, die von 1 bis 15 numeriert waren.

Sisyphos mußte die Tafeln ziemlich oft verschieben, bis es ihm schließlich gelang, die ersten 13 Vorfahren richtig einzuordnen. Nur bei den letzten beiden klappte es nicht: Sigismund der II., sein Vater, landete jedesmal vor Sigismund dem I., seinem Großvater.
Das schaffst du nie, trompetete Archipi, und ich sage dir auch, warum.
Jede Abfolge der Tafeln entspricht einer Folge von 15 Ziffern, die richtige Folge ist 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15. Nach all deinen Versuchen bist du bis 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13 gekommen, das ist gut, aber zum Schluß hast du 15-14, das ist falsch. Für jede Zahl einer Folge kann man einen Wert errechnen, die sogenannte Inversionszahl, und dieser Wert bestimmt sich danach, wie häufig dieser Zahl eine kleinere Ziffer folgt. So ist in der Folge 5-2-3-4-1 die Inversionszahl der 5 die 4, weil 2-3-4 und 1 hinter der 5 stehen. Die Inversionszahl der 2 ist 1, weil nur die 1 als kleinere hinter der 2 steht. Die Inversionszahlen von 3 und 4 sind ebenfalls gleich 1. Wenn man die Inversionszahlen aller Zahlen der Folge addiert, erhält man die Gesamtinversionszahl. Die der Folge 5-2-3-4-1 lautet 4 + 1 + 1 + 1 gleich 7.

Kommen wir auf unser Beispiel zurück. Die Gesamtinversionszahl der Folge 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15 ist gleich 0, weil alle Zahlen in der richtigen Reihenfolge stehen. Dagegen ist die der Folge 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-15-14 gleich 1, weil 15 vor 14 steht. Also ist die Gesamtinversionszahl im ersten Fall gerade und im zweiten Fall ungerade.
Um von der falschen Anordnung der Ahnen zur richtigen zu kommen, müßte man also die Parität der Gesamtinversionszahl verändern können. Aber sie läßt sich nicht verändern bei deinen Verschiebungen in den Rillen. Das nennt man eine Invariante.

Dann nützt mir also die ganze Verschieberei der Tafeln nichts, seufzte Sisyphos.

Nein, triumphierte Archipi, und ich sage dir auch den Grund. Wie du feststellen kannst, verändert die horizontale Verschiebung einer Tafel die Inversionszahl nicht. Die Zahlen bleiben stets in der gleichen Reihenfolge. Das ist nicht der Fall, wenn die Bewegung vertikal erfolgt. Wenn die Tafel 7 zum Beispiel um ein Feld steigt, landet sie vor der 8 und der 9, während sie vorher dahinter stand. Tatsächlich nehmen die Inversionszahlen der 8 und der 9 jeweils um eine Einheit ab. Dagegen verändern sich die Inversionszahlen der anderen Zahlen der Folge nicht. Bei dieser Bewegung verringert sich die Inversionszahl schließlich um 2.
Und würde man verschiedene Möglichkeiten analysieren, stellte man fest, daß eine vertikale Bewegung der Tafel die Parität der Gesamtinversionszahl nie verändert.

- Ich sollte die gesamte Tischlerei abmontieren, seufzte Sisyphos. Zum Teufel mit den Invarianten! Es sei denn...
- Es sei denn was? wunderte sich Archipi.
- Es sei denn, ich tausche die Zwillinge Eglantine (11) und Eléonore (12) in der genealogischen Reihenfolge aus. Dann ist die Gesamtinversionszahl der Reihe 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-12-11-13-15-14 gleich 2, also gerade, und meine Veränderungen sind erfolgreich... Ich kriege wieder Ordnung in meine beiden Sigismunds.

Sie haben den Trick durchschaut. Wenn Sie, ohne die Tafel zu zerschlagen, zwei Teile vertauschen, werden Sie nie alle Teile in der richtigen Reihenfolge anordnen...