Die Lösungen zu den Archimedes-Rätselfragen

Umgekehrtes Alter (Frage vom 18. 01.):

Frage: Man feierte den 52. Geburtstag von Patricia. Als sie die beiden Zahlen gegeneinander vertauschte, bemerkte sie, dass die 25 genau dem Alter ihres Sohnes Colin entsprach. Würde sich diese Situation, in der das Alter eines Elternteils in umgekehrter Zahlenfolge dem eines seiner Kinder entspricht, im Verlaufe ihres Lebens noch einmal wiederholen?
Wenn ja, wie alt werden Patricia und Colin sein, wenn sich diese Inversion noch einmal ergibt?Unter Zuhilfenahme der Mathematik ergab sich, dass dieses Phänomen nicht bei allen Müttern auftauchen kann. Wie alt muss die Mutter bei der Geburt ihres Kindes gewesen sein, damit sich dieses Phänomen der Inversion ihres Alters überhaupt zeigen kann?

Antwort: Das Phänomen des umgekehrten Alters tritt ein, wenn Patricia ihr Kind in einem durch die Zahl neun teilbaren Alter bekommt. In unserem Beispiel ist Patricia 52 Jahre alt und Colin 25, Patricia hat ihren Sohn demnach im Alter von 27 Jahren bekommen, eine Zahl, die durch neun teilbar ist.
Diese Situation wiederholt sich alle elf Jahre (Beispiel: 52 + 11 = 63; 25 + 11 = 36)

Die richtige Lösung wurde von vielen Zuschauern eingesendet.
Eine besonders originelle und ausführliche Antwort kam von Roland Geider aus Malaga:

Ich bin ein 17-jähriger Deutscher, gehe in Malaga aufs Gymnasium und mir gefallen Mathematische Spiele. Desswegen war ich sofort interessiert, als ich am 18.1 dieses Problem in "Archimedes" sah. Und jetzt nuetze ich die Gelegenheit, um dieses Programm zu loben und natuerlich auch den ganzen Sender; ich finde beide Spitze.
Macht weiter so!

Also, fangen wir an:
Wir wissen, dass die Mutter 52 Jahre alt ist und ihr Sohn 25. Der Altersunterschied betraegt also 27 Jahre (52 - 25 = 27), was bedeutet, dass die Mutter ihr Kind mit 27 Jahre geboren hat.

Wenn wir das in einer Tabelle darstellen, koennen wir auf einem Blick sehen, was geschieht, wenn die Situation des umgekehrten Alters eintritt, d.h. die Zahlen vertauscht sind (z.B. 13-31). Ich habe "M" fuer die Mutter und "S" für den Sohn eingesetzt:

M | S
52 | 25 -> Altersunterschied: 27, und der bleibt ja immer gleich, denn das Gegenteil wuerde bedeuten, dass einer von beiden schneller altert als der andere.

Und weil wir diese Situation ganz allgemein folgendermaßen schreiben koennen...

M | S
10x y | 10y x

...und der Altersunterschied auch konstant bleibt (nämlich 27), sind wir in der Lage, folgende Gleichung aufzustellen:

(10x y) - (10y x) = 27,
9x - 9y = 27,

27 - 9x
y = _______ ,
-9

y = 27/-9 (-9x / -9)
y = -3 x

-> y = x - 3

Diese lineare Funktion gibt uns (theoretisch) unendliche Lösungen für das Problem. Wenn wir eine Tabelle aus Ihren Werten erstellen, bekommen wir folgendes -überraschendes- Ergebnis:

x | y --> Mutter | Sohn
1 | -2 Keine brauchbare Werte
2 | -1 ?
3 | 0 30 | 03
4 | 1 41 | 14
5 | 2 52 | 25
6 | 3 63 | 36
7 | 4 74 | 47
8 | 5 85 | 58
9 | 6 96 | 69

Wie wir sehen, finden wir so eine Situation alle 11 Jahre!

Und jetzt kommen wir zur zweiten Frage: "Mit wie vielen Jahren muss eine Frau ihr Kind gebären, damit dies geschehen kann?"

Um das zu beantworten, müssen wir auf die generelle Gleichung zurückgreifen:

(10x y) - (10y x) = n, wobei "n" der Altersunterschied zwischen den beiden ist.
9x - 9y = n,

n - 9x
y = _______ ,
-9

y = (n/-9) (-9x/-9)

Und jetzt kommt das Interessante: wenn wir ein bisschen darüber nachdenken, finden wir heraus: wenn "n" keine durch neun teilbare Zahl ist, hat die Gleichung keine ganzen Werte.
Desswegen wird das alles nur geschehen, wenn die Mutter (oder auch der Vater) ihr Kind mit einem Alter vielfach von neun (18, 27, 36 oder 45 Jahre, Alter wie 9 oder 54 schließe ich aus) bekommen.

P.S.: Ich und viele andere Mathematik-Rätsel-Freunde wären sehr erfreut, wenn Sie mehr Rätsel dieser Art senden würden.

Roland Geider