Les dimensions du monde

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Platon se demandait comment imaginerait le monde un habitant immobile d'une caverne qui ne verrait que les ombres projetées sur un mur ? Il penserait que les habitants de son univers sont plats et n'ont que deux dimensions. Cette "réflexion" est un apport de la philosophie aux mathématiques. L'écrivain anglais Edwinn Abbott a, dans son roman Flatland, imaginé une organisation sociale dans un monde à seulement deux dimensions. Dans ce monde plan, les individus ont la forme de polygones et les individus les plus parfaits ont un grand nombre de côtés, se rapprochant du cercle. Dans ce monde misogyne, les femmes ont la forme d'un triangle effilé....
On a longtemps pensé que le monde n'avait que trois dimensions, mais la relativité d'Einstein a relié la dimension du temps aux trois dimensions spatiales. La vitesse de la lumière est constante et cette constance lie les valeurs de l'espace à l'écoulement du temps : le monde s'est enrichi d'une dimension temporelle. Le détail des calculs est complexe, mais il est évident qu'une évolution temporelle peut résulter d'une variation spatiale qui se passe dans une dimension supérieure. Ainsi comme vous l'avez vu dans l'icône animée, une boule a trois dimensions qui traverse un espace à deux dimensions a la forme d'un point puis d'un disque qui grandit, pour redevenir un point.
Le temps dans ce monde à deux dimensions représente une variation dans l'espace à l'intérieur d'une dimension supérieure. Imaginer un monde à quatre dimensions est extrêmement difficile. On ne peut que le reconstruire à partir de ses projections dans notre espace à trois dimensions, comme les habitants de la caverne qui passent de trois à deux dimensions. Même les meilleurs mathématiciens avouent savoir raisonner dans les mondes de dimensions supérieures, mais ne pas se représenter les structures géométriques qu'ils calculent...
Et pourtant, si l'on considère la température et la couleur associées à chaque point d'une poêle à frire, on devrait représenter les trois coordonnées spatiales, plus la température, plus la couleur ce qui fait cinq paramètres, donc un monde à cinq dimensions. Un espace peut être courbe, comme la sphère à deux dimensions. Ce qui est remarquable est que l'on peut déterminer si cet espace est courbe sans en sortir. Ainsi la somme des angles d'un triangle détermine la courbure de cet espace à deux dimensions : si elle est supérieure à 180 degrés, la courbure est positive, et l'espace est analogue à une sphère. Si elle est inférieure à 180 degrés, la courbure est dite négative et l'espace a la forme d'une selle de cheval.
Les mathématiciens ont aussi inventé des mondes à dimensions fractionnaires, comme 1/2, 2/3 etc... que l'on "voit" dans les fractales développées par Benoît Mandelbrot.
Il existe aussi des géométries à une infinité de dimensions... Comme il est d'usage, les mathématiciens prennent pour base une observation courante, puis, la généralise, pour leur plus grande joie. L'extraordinaire est que l'imagination du mathématicien permet de mieux comprendre la nature, car elle permet de saisir certains de ses aspects cachés : les mathématiciens retrouvent dans la nature ce qu'ils ont pensé dans le silence de leur bureau...

Les liens

Site de fractales :
http://www.julianhaight.com/filmer.shtml

Sur la quatrième dimension :
http://www.geocities.com/CapeCanaveral/7997/faq.html

La thèse de Steven Richard Hollasch : Four-Space Visualization of 4D Objects. http://research.microsoft.com/%7Ehollasch/thesis/

Le site The Geometry Junkyard: Many-dimensional Geometry http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/highdim.html

Le site Hyperspace Structures - Exploring the fourth dimension. http://info.lboro.ac.uk/departments/ma/gallery/hyper/index.html

Le site The Topological Zoo.
http://www.geom.umn.edu/zoo/

Hypercube images par Jonathan Bowen
http://www.cs.reading.ac.uk/archive/hypercubes/