Le plat pays

-"Comment pourrais-je imaginer qu'il existe une quatrième dimension ?" se plaignit Archiprime, l'élève d'Archipi.
- "En écoutant cette histoire fantaisiste qui arriva à Gulliver", rétorqua le professeur. "Le roi avait ordonné à l'aventurier de repartir en voyage afin de rendre compte de ce qui se passait dans les espaces de dimensions inférieures."

"Gulliver fait rapidement le tour de l'espace à une dimension. Les linéaires vivent sur une droite : ce ne sont que des segments identiques, à deux extrémités, qui ne se distinguent que par leur longueur. Leur vie sociale est bien pauvre et ils ne connaissent que deux voisins, l'un devant eux, l'autre derrière. L'aventurier observe quelque temps un linéaire qui se coupe en deux. C'est la seule manière qu'il a de se reproduire... "Rien de cela n'est croustillant, conclut-il, je vais ennuyer le roi. Pourvu que la vie soit plus palpitante dans l'univers à deux dimensions."
"Dans l'univers qu'il rencontre, ou plutôt le planivers, puisqu'il faut l'appeler ainsi, Gulliver est attiré par une drôle de surface, peuplée d'êtres étranges soumis à la gravitation de leur monde. Les habitants, appelés planaires, sont limités dans leurs déplacements. Ainsi, les planaires mâles vivent tous dans le même sens, et font face aux planaires femelles. Cela donne quelquefois lieu à des situations cocasses. Si un planaire mâle vient à dépasser la dame qu'il convoite, il doit revenir devant elle en marchant à l'envers. Le plus grave problème des planaires est leur constitution. Leur corps est partagé par un tube digestif fermé aux deux extrémités par une sorte de velcro. Pour éviter tout accident, ils doivent faire attention de ne pas ouvrir les deux extrémités à la fois, sans quoi ils laissent un morceau d'eux-mêmes derrière eux."
"Gullive"r, poursuit Archipi, "voit bien d'autres choses que l'on peut imaginer en pensant aux possibilités du monde à deux dimensions. Le chef des planaires, furieux des moqueries de Gulliver sur son monde si "plat", décide d'éprouver l'intelligence de l'aventurier. "
" Nous avons envoyé des vaisseaux spatiaux pour savoir s'il y avait une frontière à notre planivers. Vous qui semblez si sage, dites-moi s'ils reviendront jamais." Gulliver réfléchit : si le planivers est un plan, il est infini, et les vaisseaux ne reviendront jamais. En revanche, s'il est courbe, comme la surface de la sphère terrestre, alors les vaisseaux reviendront sans doute un jour.
Pour le savoir, il suffit de reprendre les théories du mathématicien Gauss et de mesurer la somme des angles d'un triangle, déclare Gulliver triomphalement. Si la somme est de 180 degrés, alors le planivers est infini. Si la somme est supérieure à 180 degrés, le planivers est une surface finie de courbure positive, comme une sphère.
Aussitôt dit, aussitôt fait, et Gulliver de prouver que le planivers est courbe. Les planaires ont hélas le plus grand mal à imaginer ce qu'est une sphère, un objet à trois dimensions, et chassent Gulliver de leur monde pour moquerie.

"La vision d'une dimension supérieure est délicate, conclut Archipi. C'est pour cela qu'il nous est difficile de voir la quatrième dimension, que nous visiterons pourtant la semaine prochaine."