Le mathématicien suisse Jakob Steiner (1796-1863), poursuivait son cours de géométrie.

Nombre de ses étudiants suisses pensaient plus au déci de fendant qu'ils allaient bientôt déguster à petites lampées qu'aux intersections d'hyperboloïdes à plusieurs nappes dont les abreuvait Steiner.

"Question, demanda Steiner, quel est le chemin le plus court reliant les quatre sommets d'un carré ?"
Les plus endormis de ses élèves se réveillèrent : "C'est le périmètre du carré", s'écrièrent-ils. Et de rire, de la simplicité de la solution. "Bientôt il va nous demander la couleur de la croix rouge !" s'écria un persifleur.

"Que nenni", les corrigea Steiner.

"Les quatre cotés du carré ne sont pas nécessaires, vous pouvez en supprimmer un. Si les sommets sont distants d'un kilomètre, alors le chemin le plus court est" ...

- Trois kilomètres, continuèrent les élèves.

- Et bien, c'est encore faux, ricana Steiner.

"Rajoutez deux points de bifurcation, et reliez-les comme ceci.

Vous obtenez un chemin encore plus court, de longueur 2,7 kilomètres...

Une telle configuration de route joignant les quatre sommets d'un carré sera dénommée chemin de Steiner", se rengorgea Jakob.

- Vous ne nous aviez pas dit que l'on pouvait ajouter des points, maugréa un élève.

- Je n'ai pas dit qu'on ne pouvait pas en ajouter, sourit le bon Steiner.

En mathématique, tout ce qui n'est pas interdit est autorisé.

Il y a un phénomène plus important continua-t-il, la symétrie brisée.

"Je m'explique. La figure initiale formée par les quatre sommets d'un carré, ne change pas quand on la fait tourner d'un quart de tour.

En revanche, la solution avec les deux points de bifurcation est différente après rotation d'un quart de tour. C'est une autre figure.

Se référant aux chemins de Steiner, les ingénieurs des compagnies aériennes se sont posé le problème : "jusqu'à quelle limite peut-on réduire la longueur des vols en ajoutant des escales convenablement disposées", s'interrogeaient-ils?

Le mathématicien chinois Ding-Zhu Du montrera en 1991 que, quelque soit l'ensemble de points que l'on doit réunir par un chemin, le raccourcissement du trajet des avions obtenu par un chemin de Steiner est au plus égal à 0,866, soit 13,4 %.

Il a fallu 150 ans pour résoudre complétement la question!

Heureusement que Steiner n'avait pas posé le problème à ses étudiants, aucun n'aurait réussi l'examen.