Faire des maths

Dans notre vie quotidienne, les mathématiques sont partout présentes. Il faut des mathématiques pour faire rouler les voitures, construire les routes, bâtir les immeubles, faire fonctionner les téléphones portables. Chacun de nous utilise les mathématiques tous les jours, tout au moins la règle de trois que l'on apprend en fin d'école primaire et qui permet par exemple de savoir quelle est la consommation d'essence d'une voiture aux 100 km, sachant qu'un plein de 42 litres a permis d'effectuer un parcours de 600 km. Et pourtant qui d'entre nous est capable d'expliquer ce que signifie faire des mathématiques.

Pour en avoir une idée nous avons demandé à Félix, élève en 6ème, de poser la question à Jean Brette, responsable du département de mathématiques du Palais de la découverte.

Jean Brette : Alors tu t'intéresses aux mathématiques ?
Félix : Oui
Jean Brette : Et tu as des questions ?
Félix : Oui ! Qu'est-ce que c'est de faire des maths ?
Jean Brette : Ah ! Pour toi c'est quoi faire des maths ? Ca consiste en quoi ?
Félix : Ben pour moi c'est l'école on apprend euh... à compter euh... à faire des additions, des soustractions, des divisions, (JB : oui) des choses comme ça.
Jean Brette : Donc calculer quoi d'une certaine façon !
Félix : Voilà, calculer oui.
Jean Brette : Mais il y a aussi des objets géométriques on sait pas bien qui a inventé la géométrie par exemple mais on rencontre naturellement des objets comme ces cristaux, ça c'est un cristal de pyrite (F : oui c'est joli) qui ressemble beaucoup à un cube, ça c'est un cristal de fluorine où on voit des triangles.
Les hommes préhistoriques pouvaient en trouver, hein, mais ça peut donner l'idée de chercher des objets, des objets géométriques formés de faces qui sont toutes identiques, réparties de la même façon etc. Ca s'appelle des polyèdres, et déjà il y à 25 siècles, Platon avait déterminé qu'il y avait que 5 polyèdres réguliers c'est à dire où toutes les faces sont des polygones réguliers réparties de la même façon autour de tous les sommets. Alors je vais te les montrer, il y a d'abord le plus simple qu'on appelle le tétraèdre c'est une pyramide hein !
Il y 'a le cube qui ressemble beaucoup à ce cristal de pyrite sauf que là ce sont des vrais carrés, il y a l'octaèdre qui ressemble tout à fait à ce cristal de fluorine.
Et puis il y en a deux autres qui sont un petit peu plus compliqués , qui sont celui-ci où toutes les faces sont des pentagones, (F : et comment ça s'appelle ?) un dodécaèdre (F : dodécaèdre) ça vient de douze parce qu'il y a douze faces (F : douze faces) , donc tu vois on commence à compter déjà. (F : ouais)
Et puis celui-ci qui s'appelle un icosaèdre, où toutes les faces sont aussi (F : sont des triangles) des triangles équilatéraux, ok ! alors on ne va pas s'occuper de ceux-là, et enfin ça fait 25 siècles qu'on les connaît.
Mais tu disais que faire des maths, c'est calculer, c'est compter, tu pourrais compter des choses là-dessus ?
Félix : Pas tellement euh... à part les faces euh...les arêtes.
Jean Brette : Ah dis moi déjà combien il y a de faces ?
Félix : Ben, y'en a une, deux, trois, quatre, cinq, six, y'a six faces.
Jean Brette : Bien attends on va le marquer il y en a six. Qu'est ce que tu aurais envie de compter encore ?
Félix : Les sommets ( J B : Oui ) un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, y'a huit sommets (J B : Y'a huit sommets et puis ) et puis les arêtes y'en a douze.
Jean Brette : Ben tu sais ça par coeur oui, c'est très bien. Donc là on a compté d'accord (F: oui) tu veux essayer sur celui-là ?
Félix : Alors sur celui-là ( JB : donc la même chose) y'a, une, deux, trois, quatre, quatre faces. Y'a, une, deux, trois, quatre, quatre (J B : sommets) sommets. Et deux, trois, quatre, cinq, cinq arêtes (J B : six) six, ouais, six (J B : Oui y'a les trois du bas et les trois qui...) ah oui, j'ai oublié de compter celle-la (J B : Ca fait six.) six.
Jean Brette : Ok ! C'est deux objets qui se ressemblent pas du tout ça (F : oui) tu veux essayer avec celui-ci, qui ne ressemble pas du tout aux autres non plus.
Félix : Alors avec celui-là y'en a, y'a 1, 2, 3, 4 ; 4, 5, 6, 7, 8 ; 8 euh... 8 faces (JB : y'a 8 faces), y'a 12 arêtes, 12 arêtes (JB : y'a 12 arêtes) et les sommets, y'en a 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 6 sommets (JB : et 6 sommets). Jean Brette : Et qu'est ce qu'on peut faire avec tout ça ?
Félix : Avec tout ça euh...
Jean Brette : Parce que ça c'est bizarre on compte, des points, on compte des traits et on compte des faces , il a fallu attendre plus de 2000 ans pour qu'on se rende compte que... quand on prend les sommets, qu'on retire le nombre d'arêtes et qu'on ajoute le nombre de faces (F : oui) et bien on trouve toujours la même chose. (F : Ah bon ! ) Bien que les objets soient très différents. Regarde. Dans le cube il y a 8 sommets plus 6 faces, ça fait (F : 14) 14 , moins 12 (F : Ca fait 2) ; c'est égale à 2. Pour le tétraèdre 4 sommets plus 4 faces (F : Ca fait 8) moins 6 (F : Ca fait 2). Et pour l'octaèdre 6 sommets, 8 faces (F : 14) moins 12 (F : Ca fait 2) 2.
Félix : Mais pourquoi toujours le même nombre 2 ?
Jean Brette : Ah pourquoi le même nombre et surtout est-ce que c'est lié à ça ? (F : oui) Si je prends un autre objet. On peut le compter.
Félix : Alors il y a 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7 faces ( J B : 7 faces ) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 et 15 euh... ( J B : 15 arêtes) 15 arêtes. ( J B : Et les sommets maintenant ? ) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, et 10 sommets.
Jean Brette : Et là 10+7 (F : 17) moins 15 (F : euh... 3 euh non 2; 2.. je me suis trompé). Quand tu constates quelque chose comme ça t'as une envie irrésistible c'est d'essayer de savoir pourquoi ça se passe comme ça ? alors je vais prendre une boule, et dessus je vais faire n'importe quoi, je vais faire un petit dessin par exemple, je fais ça, ça, ça, ça voilà, puis on s'arrête ici parce que c'est un petit peu..., c'est peut-être suffisant. (F : oui), ça va ? (F : oui) alors on compte, les sommets (F :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) et 10 (F : 10) y'a 10 sommets ; alors les arêtes ( F :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) et les faces, alors y'en a une ici et puis il y a tout le reste. D'accord y'en a deux. Tu comptes. Félix : 10-10 ça fait zéro et ben, ça fait deux (J B : ça fait 2 )
Jean Brette : Ca fait 2. Là, on a l'impression que c'est pas très lié à la forme (F : oui ) oui ? ( F oui vraiment) donc ça et ça tu trouves que ça se ressemble un peu ? ( F : non plus) mais si c'est en caoutchouc et que je le gonfle ça peut devenir une sphère.
Félix : Oui c'est vrai alors c'est bizarre.
Jean Brette : Celui-là aussi (F : oui celui-là aussi ) celui-là aussi (F : tous ) est-ce que ça se passe tout le temps là j'ai fais un petit dessin, j'aurais peut-être pu en faire un autre. Comment on peut savoir si ça se produit tout le temps pour la sphère ?
Félix : Euh... comment ben...c'est....
Jean Brette : C'est bizarre si je demandais à quelqu'un... si je te demandais à toi de faire un dessin ( F : oui ) tu crois qu'on trouverait 2. Félix : Oui sans doute si...
Jean Brette : Donc on peut essayer avec des choses plus simples par exemple si je prends un autre objet ( F : toujours une sphère ) c'est toujours une sphère, oui. Je mets juste un point dessus, c'est bizarre comme dessin : y'a juste un sommet.
Alors qu'est-ce qu'il y a ? Un sommet et il y a combien de faces ( F : Ben y'en a aucune ) ben si, y'a tout ça ( F : tout ça ? Ah oui, c'est vrai) tout ça c'est comme une face (F : oui ) alors j'ai ( F : mais à ce moment-là ...) un sommet, (F : É une, ça fait zéro) zéro arête et une face. ‚a fait 1+1 ( F : 1+1 ça fait 2 ) moins zéro ( F : ça fait rien donc c'est 2 ) ça fait 2 ( F : oui 2 ).
Ok, maintenant, imagine que j'ajoute une arête et j'ajoute aussi un sommet pour l'extrémité de l'arête qu'est ce qui va se passer.
Je vais augmenter le nombre de sommet de un, donc ça va faire un sommet de plus mais en même temps y'a une arête de plus
( F : là ça fait 2 ) 1-1 ça fait zéro comme ça faisait 2 avant ça va continuer à faire 2 (F : oui ). Si je rajoute une deuxième arête, je rajoute aussi un deuxième sommet.
Donc il y a un sommet de plus, une arête de plus, 1-1 ça fait 0 donc je vais toujours trouver 2.
Alors supposons maintenant que rajoute cette arête-là, j'ai pas besoin d'ajouter de sommet, là (F : non).
Oui, mais par contre ça fait une face en plus, donc cette fois-ci il va y avoir une face en plus, une arête en plus, 1-1 ça fait 0 donc ça change rien non plus ! ( F: oui c'est toujours la même chose ) or pour faire un dessin aussi compliqué soit-il, je pourrais toujours m'en sortir avec ces 2 seules opérations ou je rajoute une arête avec un sommet ou je rajoute une arête qui coupe une face en deux.
Donc c'est toujours les deux seuls cas qu'on peut rencontrer.
T'es d'accord ? Donc comme c'était vrai au début et qu'à chaque fois que je rajoute des traits ça ne change rien ben c'est encore vrai après, donc c'est vrai tout le temps.
Félix : Donc ça marche à tous les coups.
Jean Brette : Et c'est... ça c'est un exemple de faire des maths, c'est simple ! Mais en plus il fallait penser à se poser la question. Mais très souvent les problèmes viennent de l'intérieur des mathématiques ; les gens veulent juste comprendre pourquoi ça fait 2 ou pourquoi ça fait pas 2 ou quel genre d'équation donne tel genre de résultat etc. Donc tu vois, c'est pas seulement compter, c'est compter et chercher à comprendre surtout.
Voilà, ça fait 6000 ans que ça dure comme ça où les gens se posent des questions et on espère que ça va durer au moins autant de temps.